Viele Studenten, die fortgeschrittene Mathematik in fortgeschrittenen Kursen studieren, haben sich wahrscheinlich gefragt: Wo werden Differentialgleichungen (DEs) in der Praxis verwendet? In der Regel wird dieses Thema in Vorlesungen nicht behandelt, und die Lehrer gehen sofort zur Lösung der Kontrolltheorie über, ohne den Schülern die Verwendung von Differentialgleichungen im wirklichen Leben zu erklären. Wir werden versuchen, diese Lücke zu schließen.
Wir beginnen mit der Definition einer Differentialgleichung. Eine Differentialgleichung ist also eine Gleichung, die den Wert einer Ableitungsfunktion mit der Funktion selbst, den Werten einer unabhängigen Variablen und einigen Zahlen (Parametern) in Beziehung setzt.
Der häufigste Bereich, in dem Differentialgleichungen angewendet werden, ist die mathematische Beschreibung natürlicher Phänomene. Sie werden auch zur Lösung von Problemen verwendet, bei denen es unmöglich ist, eine direkte Beziehung zwischen einigen Werten herzustellen, die einen Prozess beschreiben. Solche Aufgaben ergeben sich in Biologie, Physik und Wirtschaft.
In der Biologie:
Das erste wesentliche mathematische Modell, das biologische Gemeinschaften beschreibt, war das Lotka-Volterra-Modell. Es beschreibt eine Population von zwei interagierenden Arten. Der erste von ihnen, Raubtiere genannt, stirbt nach dem Gesetz x '= –ax (a> 0) in Abwesenheit des zweiten, und der zweite, Opfer in Abwesenheit von Raubtieren, vermehrt sich unbegrenzt nach dem Malthus-Gesetz. Die Wechselwirkung dieser beiden Arten wird wie folgt modelliert. Opfer sterben mit einer Rate aus, die der Anzahl der Begegnungen von Raubtieren und Opfern entspricht, was in diesem Modell als proportional zur Anzahl beider Populationen angenommen wird, d. H. Gleich dxy (d> 0). Daher ist y '= by - dxy. Raubtiere vermehren sich proportional zur Anzahl der gefressenen Beute: x '= –ax + cxy (c> 0). Gleichungssystem
x '= –ax + cxy, (1)
y '= by - dxy, (2)
Ein Raubtier, das eine solche Population beschreibt, ist eine Beute und wird als Trays-Volterra-System (oder Modell) bezeichnet.
In der Physik:
Newtons zweites Gesetz kann in Form einer Differentialgleichung geschrieben werden
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), Dabei ist m die Masse des Körpers, x seine Koordinate, F (x, t) die Kraft, die zum Zeitpunkt t mit der Koordinate x auf den Körper wirkt. Seine Lösung ist die Flugbahn des Körpers unter Einwirkung der angegebenen Kraft.
